!!abstract,linked gloses,internal links,content,dynamic examples,...
!set gl_author=Euler, Acadmie de Versailles
!set gl_keywords=
!set gl_title=Puissance entire d'un nombre
!set gl_level=H2 Cycle4
:
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:
:
<div class="wims_defn"><h4>Dfinition</h4>
Soit \(a\) un nombre et \(n\) un entier naturel.
<ul>
<li>
On suppose \(a\) non nul.<br/>
La <strong>puissance</strong> d'exposant \(n\) de \(a\) est le nombre not
<math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'><msup><mi>a</mi><mi>n</mi></msup></math>
(&#171; \(a\) puissance \(n\) &#187; ou &#171; \(a\) exposant \(n\) &#187;) et dfini par :
   <ul>
   <li><math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'><mrow><msup><mi>a</mi><mn>0</mn></msup></mrow><mo>=</mo><mn>1</mn></math> ; </li>
   <li><math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'><mrow><msup><mi>a</mi><mn>1</mn></msup></mrow><mo>=</mo><mi>a</mi></math> ; </li>
   <li>si
   <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mi>n</mi>
  <mo>&#8805;</mo>
  <mn>2</mn>
 </mrow>
</math>, alors
<math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'><msup><mi>a</mi><mi>n</mi></msup></math>
est le produit de \(n\) nombres tous gaux  \(a\).</li>
  </ul>
La <strong>puissance</strong> d'exposant
<math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mo>-</mo>
  <mi>n</mi>
 </mrow>
</math>
de \(a\) est le nombre not
<math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'><msup><mi>a</mi><mrow><mo>-</mo><mi>n</mi></mrow></msup></math>
(&#171; \(a\) puissance
<math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mo>-</mo>
  <mi>n</mi>
 </mrow>
</math> &#187; ou &#171; \(a\) exposant
<math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mo>-</mo>
  <mi>n</mi>
 </mrow>
</math> &#187;) et dfini par :
<math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <msup>
   <mi>a</mi>
   <mrow>
    <mo>-</mo>
    <mi>n</mi>
   </mrow>
  </msup>
  <mo>=</mo>
  <mfrac>
   <mn>1</mn>
   <msup>
    <mi>a</mi>
    <mi>n</mi>
   </msup>
  </mfrac>
 </mrow>
</math>.
</li>
<li>Si \(n\) est un entier naturel suprieur ou gal  1 :
<math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'><mrow><msup><mn>0</mn><mi>n</mi></msup></mrow><mo>=</mo><mn>0</mn></math>.</li>
</ul>
</div>

<div class="wims_thm"><h4>Consquence</h4>
Pour tout entier relatif \(n\) :
<math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'><mrow><msup><mn>1</mn><mi>n</mi></msup></mrow><mo>=</mo><mn>1</mn></math>.

<h4>Remarque</h4>
<math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'><mrow><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup></mrow></math> se lit &#171; \(a\) au carr &#187; ;
<math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'><mrow><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup></mrow></math>
est le carr de \(a\).<br/>
<math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'><mrow><msup><mi>a</mi><mn>3</mn></msup></mrow></math> se lit &#171; \(a\) au cube &#187; ;
<math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'><mrow><msup><mi>a</mi><mn>3</mn></msup></mrow></math>
est le cube de \(a\).
</div>
<div class="wims_thm"><h4>Cas particulier : puissances de 10</h4>
Soit \(n\) un entier naturel tel que
<math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mi>n</mi>
  <mo>&#8805;</mo>
  <mn>2</mn>
 </mrow>
</math>, alors <math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'><mrow><msup><mn>10</mn><mi>n</mi></msup></mrow></math>
s'crit avec un 1 suivi de \(n\) zros,
<math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'><mrow><msup><mn>10</mn><mrow><mo>-</mo><mi>n</mi></mrow></msup></mrow></math>
est le nombre dcimal de partie entire 0 et de partie dcimale forme de
<math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mi>n</mi>
  <mo>-</mo>
  <mn>1</mn>
 </mrow>
</math>
zros suivis d'un 1.
</div>

<div class="wims_thm"><h4>Proprits</h4>
Soit \(a\) et \(b\) deux nombres non nuls, \(m\) et \(n\) deux entiers relatifs.
<ul>
<li><math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mrow>
   <msup>
    <mi>a</mi>
    <mi>m</mi>
   </msup>
   <mo>&#215;</mo>
   <msup>
    <mi>a</mi>
    <mi>n</mi>
   </msup>
  </mrow>
  <mtext> </mtext>
  <mo>=</mo>
  <mtext> </mtext>
  <msup>
   <mi>a</mi>
   <mrow>
    <mi>m</mi>
    <mo>+</mo>
    <mi>n</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </mrow>
</math></li>
<li><math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mfrac>
   <msup>
    <mi>a</mi>
    <mi>m</mi>
   </msup>
   <msup>
    <mi>a</mi>
    <mi>n</mi>
   </msup>
  </mfrac>
  <mtext> </mtext>
  <mo>=</mo>
  <mtext> </mtext>
  <msup>
   <mi>a</mi>
   <mrow>
    <mi>m</mi>
    <mo>-</mo>
    <mi>n</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </mrow>
</math></li>
<li>
<math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <msup>
   <mrow>
    <mo>(</mo>
    <msup>
     <mi>a</mi>
     <mrow>
      <mi>m</mi>
      <mtext> </mtext>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>)</mo>
   </mrow>
   <mi>n</mi>
  </msup>
  <mo>=</mo>
  <msup>
   <mi>a</mi>
   <mrow>
    <mi>m</mi>
    <mo>&#8290;</mo>
    <mi>n</mi>
   </mrow>
  </msup>
 </mrow>
</math></li>
<li><math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <mtext> </mtext>
  <mrow>
   <msup>
    <mrow>
     <mo>(</mo>
     <mrow>
      <mi>a</mi>
      <mo>&#215;</mo>
      <msup>
       <mi>b</mi>
       <mtext> </mtext>
      </msup>
     </mrow>
     <mo>)</mo>
    </mrow>
    <mi>n</mi>
   </msup>
   <mo>=</mo>
   <mrow>
    <msup>
     <mi>a</mi>
     <mrow>
      <mtext> </mtext>
      <mi>n</mi>
     </mrow>
    </msup>
    <mo>&#8290;</mo>
    <msup>
     <mi>b</mi>
     <mi>n</mi>
    </msup>
   </mrow>
  </mrow>
 </mrow>
</math></li>
<li><math xmlns='http://www.w3.org/1998/Math/MathML'>
 <mrow>
  <msup>
   <mrow>
    <mo>(</mo>
    <msup>
     <mfrac>
      <mi>a</mi>
      <mi>b</mi>
     </mfrac>
     <mtext> </mtext>
    </msup>
    <mo>)</mo>
   </mrow>
   <mi>n</mi>
  </msup>
  <mo>=</mo>
  <mfrac>
   <msup>
    <mi>a</mi>
    <mi>n</mi>
   </msup>
   <msup>
    <mi>b</mi>
    <mi>n</mi>
   </msup>
  </mfrac>
 </mrow>
</math></li>
</ul>
</div>
:mathematics/algebra/fr/power_1
